Question

如圖所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：DF∥平面EAB；
（2）設(shè)動點P從F出發(fā)，沿棱BC，CD按照F→C→D的線路運動到點D，求這一運動過程中形成的三棱錐P-EAB體積的最小值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點N，連接DF、NF、EN，則FN∥AC，NF=

1

2

AC，取AC的中點M，連接EM、EC，由已知得四邊形EMCD為矩形，四邊形ENFD是平行四邊形，由此能證明DF∥平面EAB．
（2）當(dāng)P在CD上時，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×AB×S△PAE≥

3

3

a3，當(dāng)P在FC上時，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×DC×S△PAE≥

3

3

a3．由此能求出三棱錐P-EAB體積的最小值．

解答： （1）證明：取AB的中點N，連接DF、NF、EN，則FN∥AC，NF=

1

2

AC，
取AC的中點M，連接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四邊形EMCD為矩形，
∴ED=MC=

1

2

AC．又∵ED∥AC，
∴ED∥NF且ED=NF，
四邊形ENFD是平行四邊形．
∴DF∥EN，
而EN?平面EAB，DF?平面EAB，
∴DF∥平面EAB．
（2）解：過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG，
∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l(xiāng)⊥平面DGC，∴l(xiāng)⊥DG，
當(dāng)P在CD上時，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×AB×S△PAE
≥

1

3

×2a×

1

2

×

3

a×a=

3

3

a3，
當(dāng)P在FC上時，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×DC×S△PAE
=

3

3

×

1

2

×AB×yP≥

3

3

a×

1

2

×2a×a=

3

3

a3．
∴三棱錐P-EAB體積的最小值為

3

3

a3．

點評：本題考查直線與平面的平行、線面所成角、探索性問題等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．