Question

已知a，b∈R₊且a＋b＝1，求證：(a＋)²＋(b＋)²≥．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵a，b∈R+且a＋b＝1， 　　∴ab≤()2＝， 　　∴(a＋)2＋(b＋)2＝4＋(a2＋b2)＋() 　　＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋ 　�。�4＋(1－2ab)＋≥4＋(1－2×)＋． 　　∴(a＋)2＋(b＋)2≥． 　　思路分析：證明不等式類似于證明等式那樣，通常從較繁的一邊向另一邊化簡，變形中要巧用已知條件，由于a，b的和為定值．因而可應(yīng)用基本不等式去證明，首先應(yīng)對(duì)不等式的左邊變形和整理．

提示：

本題中條件a＋b＝1是解題的重點(diǎn)，由基本不等式的知識(shí)可聯(lián)想知應(yīng)由重要不等式來變形出要證明的結(jié)論，本題a＋b＝1，也可以視為是“1”的代換問題，如下面的證法： 　　左邊＝(a＋)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋4＋() 　�。�4＋a2＋b2＋ 　�。�4＋a2＋b2＋1＋＋1 　�。�4＋(a2＋b2)＋2＋2(＋)＋()≥4＋＋2＋2×＋2·· 　　＝4＋＋2＋4＋2＝． 　　因此，抓住“1”的代換，作為證明的一條線索也可以證明這個(gè)問題，即在綜合法中，每一個(gè)題設(shè)條件所反饋出來的“信息”，都是至關(guān)重要的，也都有可能成為解題的突破口．