Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

．
（1）求a_n；
（2）設(shè)f（x）=sinx，A_n是數(shù)列{f（a_n）}前n項(xiàng)的和，B_n是{a_n}前n項(xiàng)的和，比較A_n與B_n的大��；

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)

an

an-1

=1-

1

n

，構(gòu)造新的數(shù)列{na_n}，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）求出{f（a_n）}，利用函數(shù)思想創(chuàng)造新的函數(shù)g(n)=an-f(an)=

1

n

-sin

1

n

，求出在任何情況下函數(shù)都大于0，即數(shù)列{f（a_n）}得每一項(xiàng)都小于{a_n}的每一項(xiàng)，進(jìn)而判斷A_n與B_n的大小．

解答：解：（1）由

an

an-1

=1-

1

n

得，na_n=（n-1）a_n-1，（2分）
∴{na_n}構(gòu)成以1×a₁為首項(xiàng)的常數(shù)數(shù)列，又1×a₁=1，故na_n=1，∴an=

1

n

．（5分）
（2）令g(n)=an-f(an)=

1

n

-sin

1

n

，
可使g(x)=

1

x

-sin

1

x

（x＞0）．
則在單位圓中，由當(dāng)α∈(0，

π

2

)，sinα＜α＜tanα
∴

1

x

＞sin

1

x

（9分）
∴1-sin1＞

1

2

-sin

1

2

＞＞

1

n

-sin

1

n

＞0
∴1＞sin1  ，

1

2

＞sin

1

2

  ，

1

n

＞sin

1

n

∴A_n＜B_n．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查構(gòu)造新數(shù)列及利用函數(shù)思想就絕數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題．