Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，PA⊥AD，CD⊥AD，PA=AD=CD=2AB，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，DE=EC．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（Ⅱ）求銳二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題目給出的條件，可得四邊形ABFD為矩形，說(shuō)明AB⊥BF，再證明AB⊥EF，由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根據(jù)面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（Ⅱ）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，求出平面法向量，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，
∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∴ABFD為矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AB?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，
又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，∴AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1）
平面BCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），
設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，該題訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．