Question

19．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+3x-4．
（1）當(dāng)a=-2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}$+$\frac{4}{4×{2}^{2}-1}$+$\frac{4}{4×{3}^{2}-1}$+…+$\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}$＞$\frac{1}{4}$ln（2n+1）對一切正整數(shù)n均成立．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）知，x＞0時，不等恒成立，則x＞0時，恒成立．令k=1，2，3，…，n，疊加，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2，f（x）=-2lnx+$\frac{1}{x}+3x-4$
$f'（x）=-\frac{2}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}+3$=$\frac{3{x}^{2}-2x-1}{{x}^{2}}$
f'（x）=0，解得x=$-\frac{1}{3}$或x=1
因為x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f'（x）=$\frac{a}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}+3=\frac{3{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$
△=a²+12＞0，則方程3x²+ax-1=0有兩個異號的實根，設(shè)這兩個實根為x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂．
∴0＜x＜x₂時，f'（x）＜0．f（x）在區(qū)間[0，x₂]上為減函數(shù)，f（x₂）＜f（0）=0．
∴a＜-2不符合要求．
∴a的取值范圍為[-2，+∞）．
（3）證明：由（1）知，x＞0時，不等式-2lnx+$\frac{1}{x}+3x-4＞0$恒成立，
∴x＞0時，$\frac{1}{x}+3x-4＞2lnx$恒成立，
令$x=\frac{2k+1}{2k-1}$，得$\frac{2k-1}{2k+1}+\frac{6k+3}{2k-1}-4＞2ln（\frac{2k+1}{2k-1}）$
整理得：$\frac{8k+8}{4{k}^{2}-1}$$＞2ln\frac{2k+1}{2k-1}$
∴$\frac{k+1}{4{k}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{2k+1}{2k-1}$令k=1，2，3…，n，得$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{3}{1}，\frac{3}{4×{2}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{5}{3}$
…，$\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{2n+1}{2n-1}$
將上述n個不等式的左右兩邊分別相加得，
$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}+\frac{3}{4×{2}^{2}-1}+…+\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}$$＞\frac{1}{4}ln（\frac{3}{1}×\frac{5}{3}×…×\frac{2n+1}{2n-1}）=\frac{1}{4}ln（2n+1）$
∴$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}+\frac{3}{4×{2}^{2}-1}+…+\frac{n+1}{4×{n}^{2}1}$$＞\frac{1}{4}ln（2n+1）$對一切正整數(shù)n均成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，巧妙利用兩小題之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．