Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為

3

2

．問：以此橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角△ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請(qǐng)說明有幾個(gè)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出橢圓的方程，再設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），可得BC邊所在直線的方程，分別求出|AB|，|BC|，由|AB|=|BC|，得k的值，由此知存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形．

解答： 解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為

3

2

，
∴c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，
故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得A（-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1），
∴|AB|=

8|k| 1+k2

1+4k2

用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k2

，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，故存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．