Question

在平面直角坐標系中，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列（整點即橫縱坐標都是整數(shù)的點）A（n）：A₁，A₂，A₃，…，A_n與B（n）：B₁，B₂，B₃，…，B_n，其中n≥3，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②線段A_iA_i+1⊥B_iB_i+1，其中i=1，2，3，…，n-1，則稱A（n）與B（n）互為正交點列．
（Ⅰ）試判斷A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）與B（3）：B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）是否互為正交點列，并說明理由；
（Ⅱ）求證：A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交點列B（4）；
（Ⅲ）是否存在無正交點列B（5）的有序整數(shù)點列A（5）？并證明你的結論．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（I）根據(jù)已知中中正交點列的定義，判斷A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）與B（3）：B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）是否滿足條件，可得結論．
（II）點列B₁，B₂，B₃，B₄是點列A₁，A₂，A₃，A₄的正交點列，進而根據(jù)正交點列的定義，得到假設不成立，進而說明A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交點列B（4）；
（Ⅲ）有序整點列B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是點列A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的正交點列，利用正交點列的定義，構造方程組，進而根據(jù)方程組有解得答案．

解答： 解：（Ⅰ）有序整點列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）與B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）互為正交點列．-------------------------（1分）
理由如下：
由題設可知 

A1A2

=(3，-2)，

A2A3

=(2，2)，

B1B2

=(2，3)，

B2B3

=(3，-3)，
因為 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0
所以 A₁A₂⊥B₁B₂，A₂A₃⊥B₂B₃．
所以整點列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）與B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）互為正交點列．----------------------------（3分）
（Ⅱ）證明：由題意可得 

A1A2

=(3，1)，

A2A3

=(3，-1)，

A3A4

=(3，1)，
設點列B₁，B₂，B₃，B₄是點列A₁，A₂，A₃，A₄的正交點列，
則可設

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z
因為A₁與B₁，A₄與B₄相同，所以有

-λ1+λ2-λ3① 3λ1+3λ2+3λ3②

因為λ₁，λ₂，λ₃∈Z，方程②不成立，
所以有序整點列A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交點列．----------（8分）
（Ⅲ）存在無正交點列的整點列A（5）．-------------------------------------------（9分）
當n=5時，設

AiAi+1

=(ai，bi)，ai，bi∈Z，其中a_i，b_i是一對互質(zhì)整數(shù)，i=1，2，3，4
若有序整點列B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是點列A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的正交點列，
則

BiBi+1

=λi(-bi，ai)，i=1，2，3，4，由 

4

i=1

AiAi+1

=

4

i=1

BiBi+1

得

4 i=1 -λibi= 4 i=1 ai，① 4 i=1 λiai= 4 i=1 bi．②

取A₁（0，0），a_i=3，i=1，2，3，4，b₁=2，b₂=-1，b₃=1，b₄=-1
由于B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是整點列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，4．
等式②中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，
所以存在無正交點列的整點列A（5）．-----------------------------------（13分）

點評：本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，存在性問題，反證法，難度較大，運算量也比較大，屬于難題．