Question

已知二次函數(shù)y=x²-x-2，實(shí)數(shù)a＞-2
（1）求函數(shù)在-2＜x≤a之間的最小值；
（2）求函數(shù)在a≤x≤a+2之間的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于二次函數(shù)y=x²-x-2的對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

2

，分當(dāng)-2＜a＜

1

2

時(shí)和當(dāng)a≥

1

2

時(shí)兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值．
（2）分對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

，在區(qū)間[a，a+2]的右邊、中間、左邊三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）由于二次函數(shù)y=x²-x-2=(x-

1

2

)2-

9

4

，實(shí)數(shù)a＞-2，對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

2

，
當(dāng)-2＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)y在-2＜x≤a之間是減函數(shù)，最小值為(a-

1

2

)2-

9

4

．
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值為-

9

4

．
（2）由題意可得，a+2＞0，①當(dāng)a+2＜

1

2

時(shí)，即a＜-

3

2

時(shí)，函數(shù)在a≤x≤a+2之間是減函數(shù)，
最小值為(a+2-

1

2

)2-

9

4

=a²+3a．
②當(dāng)a+2≥

1

2

 且a＜

1

2

時(shí)，即-

3

2

≤a＜

1

2

時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值為-

9

4

．
③當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，函數(shù)在a≤x≤a+2之間是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為 a²-a-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．