Question

已知橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其中a=b2，離心率e=

2

2

．
（I）求橢圓方程；
（II）若橢圓上動點P（x，y）到定點A（m，0）（m＞0）的距離|AP|的最小值為1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題設(shè)及a，b，c間的平方關(guān)系列一方程組，解出即可；
（II）|AP|2=(x-m)2+2-

x2

2

=

1

2

(x-2m)2-m2+2，令f（x）=

1

2

(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2，由m＞0，分0＜2m≤2，2m＞2兩種情況進行討論求出f（x）_min，使其等于1，解出即得m的值．

解答：解（I）由題得

a=b2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，
解得：a=2，b=

2

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）由方程

x2

4

+

y2

2

=1知-2≤x≤2，y2=2-

x2

2

．
而|AP|=

(x-m)2+y2

，
∴|AP|2=(x-m)2+2-

x2

2

=

1

2

(x-2m)2-m2+2．
令f(x)=

1

2

(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2由題意得：f(x)min=1，又m＞0，
則①當(dāng)0＜2m≤2，即0＜m≤1時，f(x)min=f(2m)=2-m2=1，解得m=1（m=-1舍去）；
②當(dāng)2m＞2，即m＞1時，f(x)min=f(2)=(2-m)2=1，解得m=3（m=1舍去）；
綜上，m=1或m=3．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想及函數(shù)與方程思想．