Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1= （n∈N+）．
（1）計算a2 ， a3 ， a4 ， 并猜測出{an}的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜測．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=2，an+1= ，

當(dāng)n=1時，a2= = ，

當(dāng)n=2時，a3= =0，

當(dāng)n=4時，a4= =﹣ ，

∴猜想an= ，（n∈N+）

（2）解：①當(dāng)n=1時，a1= =2，等式成立，

②假設(shè)n=k時，猜想成立，即ak= ，

那么當(dāng)n=k+1時，ak+1= = = ，等式成立，

由①②可知，an= ，（n∈N+）．

【解析】（1）由an+1= ，分別令n=1，2，3，能求出a2 ， a3 ， a4的值，根據(jù)前四項的值，總結(jié)規(guī)律能猜想出an的表達(dá)式．（2）當(dāng)n=1時，驗證猜相成立；再假設(shè)n=k時，猜想成立，由此推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時猜想成立，由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明猜想成立．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．