Question

4．直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（-1，2）和Q（2，-2），與雙曲線（y-2）²-x²=1相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）根據(jù)下問(wèn)所需寫(xiě)出l的參數(shù)方程；
（2）求AB中點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)兩點(diǎn)寫(xiě)直線的參數(shù)方程即可；
（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，首先求解弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后，再借助于兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．

解答 解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（-1，2）和Q（2，-2），
∴該直線的參數(shù)方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+3t}\\{y=2-4t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
（2）根據(jù)（1），得
直線的普通方程為：4x+3y-2=0，
聯(lián)立方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-2=0}\\{（y-2）^{2}-{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得25x²-32x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32}{25}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{16}{25}$，
∴x_M=$\frac{16}{25}$，y_M=-$\frac{4}{3}×\frac{16}{25}+\frac{2}{3}$=$\frac{38}{25}$，
∴M（$\frac{16}{25}$，$\frac{38}{25}$），
∴|MP|=$\sqrt{（\frac{16}{25}+1）^{2}+（\frac{38}{25}-2）^{2}}$
=5$\sqrt{65}$，
∴AB中點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離5$\sqrt{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程和普通方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，弦的中點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，屬于中檔題．