Question

9．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)F₂的直線交雙曲線的漸近線于A、B兩點(diǎn)，若F₁A⊥F₂A，且$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=3$\overrightarrow{A{F}_{2}}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)F₂的直線為y=k（x-c），雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，聯(lián)立方程組，求得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和直線垂直的條件，結(jié)合雙曲線的a，b，c，和離心率公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：設(shè)過(guò)F₂的直線為y=k（x-c），
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$可得A（$\frac{kac}{ka-b}$，$\frac{kbc}{ka-b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$可得B（$\frac{kac}{ka+b}$，-$\frac{kbc}{ka+b}$），
又F₂（c，0），
由$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=3$\overrightarrow{A{F}_{2}}$，可得3（c-（$\frac{kac}{ka-b}$）=$\frac{kac}{ka+b}$-c，
化簡(jiǎn)可得ka=-2b，①
又F₁A⊥F₂A，
則$\frac{\frac{kbc}{ka-b}}{\frac{kac}{ka-b}+c}$=-$\frac{1}{k}$，即為kb²=b-2ka，②
由①②消去k，可得5a²=4b²，
由a²-b²=c²，
可得9a²=4c²，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率的求法，考查向量共線的坐標(biāo)表示和垂直的條件，屬于中檔題．