Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4．f（x）=a_n-1x³-3（3a_n-a_n+1）x+1在x=

2

處取得極值．
（1）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=2(1-

1

an

)，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對于任意正整數(shù)n，都有

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立，若存在，求出滿足條件的一個指數(shù)函數(shù)g（x）：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件先將x=代入f′（x）中即可求出（a_n+1-a_n）與（a_n-a_n-1）的關(guān)系，從而證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an的通項公式；
（2）根據(jù)前面求得的an的通項公式即可求出bn的通項公式，然后求出其前n項和的表達式，即可求出使S_n＞2008的n的最小值為1005；
（3）存在，根據(jù)題意先求出

1

(ak+1)(ak+1+1)

的表達式，然后令g（x）=2x即可得出

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立．

解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3（3a_n-a_n+1）（n≥2）
依題意得：f′(

2

)=0，∴2a_n-1-（3a_n-a_n+1）=0（2分）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4，
∴a₂-a₁=2≠0，
a_n+1-a_n≠0，
故數(shù)列{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數(shù)列（4分）
∴a_n+1-a_n=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁
an=2n-1+2n-2+2n-3++21+2=

2(1-2n-1)

1-2

+2=2n(n≥2)
又a₁=2滿足上式，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）（6分）
（2）由（1）知bn=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

，
∴Sn=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2（1-

1

2n

）=2n-2+

1

2n-1

，
由S_n＞2008得：n-1+

1

2n

＞1004，
即n+

1

2n

＞1005，所以n的最小值為1005（10分）；
（3）

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

(

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)（11分）
令g（k）=2^k，則有

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

，

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

n

k=1

 (

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2k+1

- 

1

2k+1+1

)=

1

3

-

1

2k+1+1

＜

1

3

（13分）
存在指數(shù)函數(shù)g（x）=2^x，使得對于任意正整數(shù)n，都有

n

k=1

 

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)列的求和以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．