Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，邊長為2，∠BCD=60°，點E為PB的中點，四邊形ABCD的兩對角線交點為F．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求證：AC⊥DE；
（3）若EF=

3

，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì),點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接EF，證明PD∥EF，利用直線與平面平行的判定定理證明PD∥面AEC．
（2）先根據(jù)條件得到AC⊥BD結(jié)合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）設(shè)點D到平面PBC的距離為h，由V_P-BCD=V_D-BCP，利用等積法可得：D到平面PBC的距離．

解答： 證明：（1）連接EF，
因為F，E分別是BD，PB的中點，
，所以PD∥EF，
而PD?面AEC，EF?面AEC，
所以PD∥面AEC；

（2）連接DE．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．
（3）設(shè)點D到平面PBC的距離為h．
由PD∥EF，EF是△PBD的中位線，
則EF=

1

2

PD=

3

，故PD=2

3

，
故△BCD的面積S_△BCD=

3

4

×22=

3

，
∵PD⊥平面ABCD，
故V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

×

3

×2

3

=2，
又∵V_P-BCD=V_D-BCP=

1

3

S_△BCP•h，
由已知易得PC=PB=4，S_△BCP=

1

2

×2×

15

=

15

，
即

15

3

h=2，
解得h=

2 15

5

，
故D到平面PBC的距離為

2 15

5

．

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，點到平面的距離問題，考查空間想象能力．