Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性，并利用定義加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得f（0）=0，從而可求得a，又f（x）是奇函數(shù)，可求得b；
（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可．任取x₁，x₂∈（1，+∞），設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化積，判斷符號即可．
解答：解：（1）∵f（x）=是奇函數(shù)，
∴f（0）==0，
∴a=0；…（2分）
又因f（-x）=-f（x），即，
∴b=0…（4分）
（2）函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減…．（6分）
證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），設(shè)x₁＜x₂，
則
=，…（8分）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0；
∵x₁＞1，x₂＞1，
∴1-x₁x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）…（10分）
函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減…（12分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的考查，屬于中檔題．