已知函數(shù)f(x)=loga
x+1
x-1
,(a>0,且a≠1)
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域,并證明f(x)=loga
x+1
x-1
在定義域上是奇函數(shù);
(Ⅱ)對于x∈[2,4]f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,求m的取值范圍;
(Ⅲ)當n≥2,且n∈N*時,試比較af(2)+f(3)+…+f(n)與2n-2的大。
分析:(Ⅰ) 先求出定義域,利用對數(shù)的性質(zhì)證明f(-x)=-f(x),故函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù).
(Ⅱ) ①當a>1時,有
x+1
x-1
m
(x-1)2(7-x)
>0
對x∈[2,4]恒成立,即0<m<(x+1)(x-1)(7-x)
在x∈[2,4]恒成立,利用導數(shù)求得(x+1)(x-1)(7-x)的最小值為15,得到 0<m<15.
②當0<a<1時,m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立,利用導數(shù)求得 (x+1)(x-1)(7-x) 的最大值
為45,故m>45.
(Ⅲ) n=2 時,af(2)+f(3)+…+f(n)>2n-2. n=3 時,af(2)+f(3)+…+f(n)=2n-2.當n≥4時,
af(2)+f(3)+…+f(n)<2n-2.    n≥4時,由 2n-2=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2+…+Cnn-1>n+
n(n-1)
2
+n=
n2+3n
2
n(n+1)
2
 得到證明.
解答:解:(Ⅰ)由
x+1
x-1
>0
,解得x<-1或x>1,∴函數(shù)的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞).
當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,f(-x)=loga
-x+1
-x-1
=loga
x-1
x+1
=loga(
x+1
x-1
)-1=-loga
x+1
x-1
=-f(x)

f(x)=loga
x+1
x-1
在定義域上是奇函數(shù).
(Ⅱ)由x∈[2,4]時,f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,
①當a>1時,∴
x+1
x-1
m
(x-1)2(7-x)
>0
對x∈[2,4]恒成立,
∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立,設g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],
則g(x)=-x3+7x2+x-7,g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-
7
3
)2+
52
3
,
∴當x∈[2,4]時,g'(x)>0,∴y=g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),g(x)min=g(2)=15,∴0<m<15.
②當0<a<1時,由x∈[2,4]時,f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,
x+1
x-1
m
(x-1)2(7-x)
對x∈[2,4]恒成立,∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.
設g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],由①可知y=g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),
g(x)max=g(4)=45,∴m>45.
(Ⅲ)∵f(2)+f(3)+…+f(n)=loga3+loga
4
2
+loga
5
3
+…+loga
n
n-2
+loga
n+1
n-1
=loga(3×
4
2
×
5
3
×…×
n
n-2
×
n+1
n-1
)=loga
n(n+1)
2
,∴af(2)+f(3)+…+f(n)=
n(n+1)
2

當n=2時,
n(n+1)
2
=3
,2n-2=2,∴af(2)+f(3)+…+f(n)>2n-2,
當n=3時,
n(n+1)
2
=6
,2n-2=6,∴af(2)+f(3)+…+f(n)=2n-2,
當n≥4時,af(2)+f(3)+…+f(n)=
n(n+1)
2
2n-2,下面證明:當n≥4時,af(2)+f(3)+…+f(n)=
n(n+1)
2
2n-2.
證明:當n≥4時,2n-2=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2+…+Cnn-1>n+
n(n-1)
2
+n=
n2+3n
2
n(n+1)
2
,
∴當n≥4時,af(2)+f(3)+…+f(n)=
n(n+1)
2
2n-2.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,函數(shù)的恒成立問題,用放縮法證明不等式,用放縮法證明不等式是解題的
難點.
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x
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