Question

17．已知f（x）=1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，則${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{4}{4-π}$．

Answer 1

分析 對(duì)原式兩邊求出定積分，得到${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，根據(jù)定積分的幾何意義，求出${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，繼而求出答案．

解答 解：f（x）=1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)為圓心以1為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x|${\;}_{0}^{1}$+$\frac{π}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴（1-$\frac{π}{4}$）${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=1，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{4}{4-π}$，
故答案為：$\frac{4}{4-π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的應(yīng)用和定積分的幾何意義，屬于中檔題．