Question

7．證明三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面的充分必要條件是
$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow{a}\overrightarrow}&{\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}}\\{\overrightarrow\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow\overrightarrow}&{\overrightarrow\overrightarrow{c}}\\{\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow{c}\overrightarrow}&{\overrightarrow{c}\overrightarrow{c}}\end{array}|$=0．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)內(nèi)積行向量可由另外兩個(gè)線性表出，假設(shè)原三向量不共面，推出矛盾，得到原三向量共面，進(jìn)而證出結(jié)論．

解答 解：行列式的矩陣由三個(gè)內(nèi)積行向量組成．
行列式=0，等價(jià)于三個(gè)內(nèi)積行向量共面，
等價(jià)于其中一個(gè)內(nèi)積行向量可由另外兩個(gè)線性表出．
假設(shè)是c行，表示出來比較：
（ca，cb，cc）=（（λa+μb）a，（λa+μb）b，（λa+μb）c）
如果原三向量不共面，那么（λa+μb）就是c向量，矛盾；
那么只能是原三向量共面．
原三向量共面，則其中一個(gè)可由另外兩個(gè)線性表出，
假設(shè)是c向量，則c行的內(nèi)積向量也可由另外兩個(gè)內(nèi)積行向量線性表出，
行列式=0；得證．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了充分必要條件，考查向量問題，是一道中檔題．