已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過(guò)與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

（1）拋物線C的方程為；（2）詳見(jiàn)解析．

解析試題分析：（1）求拋物線C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn)，又以為直徑的圓恰好過(guò)直線拋物線的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，故，即，解得，從而可得拋物線C的方程；（2）,求證: 拋物線C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，找出交點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故需求出過(guò)兩點(diǎn)的切線的方程，而與有關(guān)，故可設(shè)出直線AB的方程為（斜率一定存在），再設(shè)出,，利用三點(diǎn)共線可得，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，得過(guò)點(diǎn)的切線方程為:，過(guò)點(diǎn)的切線方程為:，解出，結(jié)合，得，即得，從而得證。
試題解析：（1）直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn),又以為直徑的圓恰好過(guò)直線拋物線的交點(diǎn),,
所以拋物線C的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為,
又設(shè),
共線,,
,,同理可求
,過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為,切線方程為:,
同理得過(guò)點(diǎn)的切線方程為:,聯(lián)立得:
由
,即點(diǎn)Q在定直線上運(yùn)動(dòng).
考點(diǎn)：拋物線方程，直線與拋物線的綜合問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且△EGF2的周長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＋＝t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|－|＜時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，.
（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問(wèn)M,F,Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，設(shè)點(diǎn)，，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），連結(jié)并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、并分別延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)、，連結(jié)，設(shè)、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無(wú)關(guān)的常數(shù)，是的恒成立，若存在，請(qǐng)將用、表示出來(lái)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足，且.
①證明直線與軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān)；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案