Question

【題目】某班為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)英語(yǔ)的興趣，在班內(nèi)舉行英語(yǔ)寫、說(shuō)、唱綜合能力比賽，比賽分為預(yù)賽和決賽2個(gè)階段，預(yù)賽為筆試，決賽為說(shuō)英語(yǔ)、唱英語(yǔ)歌曲，將所有參加筆試的同學(xué)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖，其中后三個(gè)矩形高度之比依次為4：2：1，落在[80，90）的人數(shù)為12人．

（Ⅰ）求此班級(jí)人數(shù)；
（Ⅱ）按規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是 ，

所以人數(shù) ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，

（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，

則 ，

所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為 ．

（ii）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2， ， ， ，

隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P

因?yàn)? ，

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為1．

【解析】（Ⅰ）由圖可知落在區(qū)間[80，90）的頻率的值即可得出人數(shù)。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知參加決賽的人有6人（i）根據(jù)題意利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算出即可得出滿足題意的概率。（ii）由已知可得出隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，利用伯努利概率公式即可計(jì)算出各個(gè)概率進(jìn)而可得到隨機(jī)變量X的分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可得到數(shù)學(xué)期望值。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．