Question

已知

a

與

b

為不共線的單位向量，其夾角θ，設(shè)

AB

=λ

a

+

b

，

AC

=

a

+μ

b

，有下列四個命題：
p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（0，

π

2

）；p₂：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（

π

2

，π）；
p₃：若A，B，C共線?λ+μ=1；p₄：若A，B，C共線?λ•μ=1．其中真命題的是（　�。�

• A、p₁，p₄
• B、p₁，p₃
• C、p₂，p₃
• D、p₂，p₄

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：

a

與

b

為不共線的單位向量，其夾角θ，可得|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cosθ．θ∈（0，π）．
p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?

a

•

b

=cosθ＞0?θ∈（0，

π

2

），即可判斷出正誤；
p₂：由命題p₁正確即可判斷出正誤；
p₄：若A，B，C共線?存在實數(shù)k使得

AB

=k

AC

，即λ

a

+

b

=k（

a

+μ

b

），可得

λ=k 1=kμ

，即可判斷出正誤；
p₃：由命題p₄正確，即可判斷出正誤．

解答： 解：∵

a

與

b

為不共線的單位向量，其夾角θ，∴|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cosθ．θ∈（0，π）．
對于p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?

a

2+

b

2+2

a

•

b

＞

a

2+

b

2-2

a

•

b

?

a

•

b

=cosθ＞0?θ∈（0，

π

2

），因此正確；
對于p₂：由命題p₁正確可知：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（

π

2

，π），不正確；
對于p₄：若A，B，C共線?存在實數(shù)k使得

AB

=k

AC

，因此，λ

a

+

b

=k（

a

+μ

b

），∴

λ=k 1=kμ

，?λ•μ=1．因此是真命題；
對于p₃：由命題p₄正確，可知命題p₃不正確．
綜上可得：只有命題p₁，p₄正確．
故選：A．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式、向量共線定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．