Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，試求a的范圍；
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，證明函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y=x+1的下方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程．
（2）由題意推出f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的最值，即可求解0＜a≤$\frac{e}{2}$（3）記F（x）=e^x-ax²-x-1，a≤0，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可證明函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y=x+1的下方．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2ax，∴f′（0）=1
所以f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程為y-f（0）=f′（0）（x-0），即y=x+1．…（4分）
（2）由題意f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立
x＞0時(shí)2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1，x＞1時(shí)g′（x）＞0，x＜1時(shí)g′（x）＜0．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤$\frac{e}{2}$；
x＜0時(shí)2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，∵$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0，2a≥0 恒成立；
綜上，若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則0＜a≤$\frac{e}{2}$   …（8分）
（3）記F（x）=e^x-ax²-x-1，a≤0
則F′（x）=e^x-2ax-1，
F′′（x）=e^x-2a＞0，∴F′（x）單調(diào)遞增，又F′（0）=0
∴F（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增
∴F（x）≥F（0）=0，即函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y=x+1的下方．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，注意二次求導(dǎo)的應(yīng)用．