【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,PA=PB,O為AB的中點(diǎn),OD⊥PC.

(1)求證:OC⊥PD;

(2)若PD與平面PAB所成的角為30°,求二面角DPCB的余弦值.

【答案】見解析

【解析】

解:(1)證明:連接OP,∵PA=PB,O為AB的中點(diǎn),

∴OP⊥AB.

∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,

∴OP⊥平面ABCD,

∴OP⊥OD,OP⊥OC.

∵OD⊥PC,OP∩PC=P,

∴OD⊥平面OPC,

∵OC平面OPC,∴OD⊥OC,

又OP⊥OC,OD∩OP=O,

∴OC⊥平面OPD,

∵PD平面OPD,∴OC⊥PD.

(2)取CD的中點(diǎn)E,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE,OB,OP所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。

在矩形ABCD中,由(1)得OD⊥OC,

∴AB=2AD,不妨設(shè)AD=1,則AB=2。

∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,

∴DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,△DPA≌△CPB,

∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角,

∴∠DPA=30°,∠CPB=30°,PA=PB=,

∴B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,-1,0),P(0,0,),從而=(1,1,-),=(0,-2,0).

設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x1,y1,z1),

可取n1=(,0,1).

同理,可取平面PCB的一個(gè)法向量為n2=(0,-,-1).

于是cos〈n1,n2〉==-,

∴二面角DPCB的余弦值為-。

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A. B. -1 C. +1 D.

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年份

2012

2013

2014

2015

2016

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

年求學(xué)花銷

3.2

3.5

3.8

4.6

4.9

(1)求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程,分析2012年至2016年本校學(xué)生人均年求學(xué)花銷的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2017年本校學(xué)生人均年求學(xué)花銷情況.

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平均數(shù)≤3;標(biāo)準(zhǔn)差S≤2;平均數(shù)≤3且標(biāo)準(zhǔn)差S≤2;平均數(shù)≤3且極差小于或等于2;眾數(shù)等于1且極差小于或等于1.

A.①② B.③④

C.③④⑤ D.④⑤

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