Question

20．以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)它的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 a=$\sqrt{2}$，b=1，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，可得橢圓方程，可得過(guò)它的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l方程，聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：∵a=$\sqrt{2}$，b=1，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
又∵焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
∴過(guò)它的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l方程為$y=\sqrt{3}（x+1）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為7x²+12x+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$x{\;}_1+{x_2}=-\frac{12}{7}$，$x{\;}_1{x_2}=\frac{4}{7}$，$k=\sqrt{3}$，
從而$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x{\;}_1-{x_2}}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（x{\;}_1+{x_2}）}^2}-4x{\;}_1{x_2}]}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．