Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAC與底面ABC垂直，E，O分別是SC，AC的中點，SA=SC=

2

，BC=

1

2

AC，∠ASC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：OE⊥平面SBC；
（Ⅱ）若點F為線段BC的中點，求異面直線SF與AB所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明OE⊥平面SBC；
（Ⅱ）根據(jù)異面直線的定義求出異面直線的所成的角，然后三角形的邊角關(guān)系求正切值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵E，O分別是SC，AC的中點，∴EO∥SA ①
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∠ASC=90°，∴SC⊥SA，
∵平面SAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面SAC，
∵SA?平面SAC，
∴BC⊥SA，
又SA⊥SC，BC∩SC=C，
∴SA⊥平面SBC  ②，
由①②知OE⊥平面SBC．
（Ⅱ）連接OF，OS，
∵O，F(xiàn)是AC，BC的中點，
∴OF∥AB且OF=

1

2

AB，
∴∠OFS是異面直線SF與AB所成的角．
等腰直角三角形SAC中AC=

SA2+SC2

=2，且SO=1，SO⊥AC，
又平面SAC⊥平面ABC，
∴SO⊥平面ABC，
∵OF?平面ABC，
∴S0⊥OF，
∴OF=

1

2

AB=

1

2

AB2+BC2

=

5

2

，
∴tan∠SFO=

SO

OF

=

2 5

5

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判斷以及異面直線所成角的求法，要求熟練掌握線面垂直的判定定理以及異面直線所成角的定義和求法．