Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面ABCD；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，求直線AQ與平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由三角形中位線定理得MN∥BD，由此能證明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)作AD的垂線為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AQ與平面AMN所成角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖連接BD．
∵M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）如圖，以A為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)作AD的垂線為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：
A（0，0，0），P（0，0，2$\sqrt{6}$），B（3，-$\sqrt{3}$，0），M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{6}$），
D（0，2$\sqrt{3}$，0），N（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），C（3，$\sqrt{3}$，0）．
$\overrightarrow{PC}$=（3，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{6}$），
設(shè)Q（x，y，z），則$\overrightarrow{PQ}$=（$x，y，z-2\sqrt{6}$），
∵$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{z-2\sqrt{6}=-\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，∴Q（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），∴$\overrightarrow{AQ}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
設(shè)平面AMN法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）．
∵$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{6}$），$\overrightarrow{AN}$=（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}b+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
設(shè)直線AQ與平面AMN所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+6-2}{\sqrt{8}•\sqrt{\frac{27}{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線AQ與平面AMN所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．