Question

（1）當(dāng)k∈N^*時，求證：是正整數(shù)；
（2）試證明大于的最小整數(shù)能被2ⁿ⁺¹整除（n∈N*）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項式定理對（1+）^k和（1-）^k展開，求出的第r+1項可以用C_k^r•[（）^k-r+（-1）^k-r•（）^k-r]表示，對k-r分奇偶討論，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)-1＜1-＜0，求出大于的最小整數(shù)為，然后利用二項式定理展開即可證明結(jié)論．
解答：（1）證明：根據(jù)二項式定理可得：（1+）^k的展開式的通項為T_r+1=C_k^r•（）^k-r，（1-）^k的展開式的通項為T_r+1=C_k^r•（-1）^k-r•（）^k-r；
則的第r+1項可以用C_k^r•[（）^k-r+（-1）^k-r•（）^k-r]表示；
當(dāng)k-r為奇數(shù)時，C_k^r•[（）^k-r+（-1）^k-r•（）^k-r]=0，當(dāng)k-r為偶數(shù)時，C_k^r•[（）^k-r+（-1）^k-r•（）^k-r]=2C_k^r•（）^k-r，是正整數(shù)，
因此是正整數(shù)；
（2）大于的最小整數(shù)為
因為-1＜1-＜0，所以0＜（1-）²ⁿ＜1，
即（1+）²ⁿ加上此小數(shù)為一個正整數(shù)．因此大于（1+）²ⁿ的最小整數(shù)為．
記a=，則a²=3，由二項式展開，正負(fù)相消得
（1+）²ⁿ+（1-）²ⁿ=（1+3+2a）ⁿ+（1+3-2a）ⁿ=2ⁿ[（2+a）ⁿ+（2-a）ⁿ]=2ⁿ⁺¹[2ⁿ+2^n-23•C_n²+…]
因此能被2ⁿ⁺¹整除．
點評：本題是中檔題．考查二項式定理的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算能力．