Question

已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，則t的取值范圍為（　�。�

• A．（

  e2+1

  e

  ，+∞）
• B．（-∞，-

  e2+1

  e

  ）
• C．（-

  e2+1

  e

  ，-2）
• D．（2，

  e2+1

  e

  ）

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=|xe^x|化成分段函數(shù)，通過求導分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值

1

e

，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，f（x）的值一個要在（0，

1

e

）內(nèi)，一個在（

1

e

，+∞）內(nèi)，然后運用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關系列式求解t的取值范圍．

解答：解：f（x）=|xe^x|=

xex  (x≥0) -xex(x＜0)

，
當x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=

1

e

，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在（0，

1

e

）內(nèi)，一個根在（

1

e

，+∞）內(nèi)，
再令g（m）=m²+tm+1，因為g（0）=1＞0，
則只需g（

1

e

）＜0，即（

1

e

）²+

1

e

t+1＜0，
解得：t＜-

e2+1

e

．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根的t的取值范圍是（-∞，-

e2+1

e

）．
故選B．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)分析函數(shù)的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根時f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．