如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線(xiàn)l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于C、D兩點(diǎn)，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)與橢圓E相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程，得焦點(diǎn)F2（1，0）．
所以橢圓E的方程為：
x2
b2+1
+
y2
b2
=1．
解方程組
y2=4x
x=1
得C（1，2），D（1，-2）．
由于拋物線(xiàn)、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴
|F2C|
|F2S|
=
|CD|
|ST|
=2
2
，|F2S|=
2
2
，∴S(1，
2
2
)．
因此，
1
b2+1
+
1
2b2
=1，解得b2=1并推得a2=2．
故橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
代入橢圓方程，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2

∴x1x2=
8k2-2
1+2k2
，x1+x2=
8k2
1+2k2
，
∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，
∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，
∴（1+k2）[
(8k2)2
(1+2k2)2
-4×
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞
1
4
，
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，
∵滿(mǎn)足
OA
+
OB
=t
OP
，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
-4k
t(1+2k2)
，
∵點(diǎn)P在橢圓上，
∴[
8k2
t(1+2k2)
]2+2[
-4k
t(1+2k2)
]2=2
∴16k2=t2（1+2k2）
∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，由于
1
4
＜k2＜
1
2
，
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2
∴實(shí)數(shù)t取值范圍為：-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線(xiàn)l：y=2x-4交拋物線(xiàn)y2=4x于A、B兩點(diǎn)，試在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大，并求這個(gè)最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5

（1）求C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為
4
5
的直線(xiàn)被C所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線(xiàn)PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1和拋物線(xiàn)C2有公共焦點(diǎn)F（1，0），C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C2分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出拋物線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C2上，直線(xiàn)l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)
x2
2
-y2=1的同一支相交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=2x上，則直線(xiàn)AB的斜率為（　�。�
A．4B．2C．
1
2
D．
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線(xiàn)l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線(xiàn)EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線(xiàn)MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
②試問(wèn)：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線(xiàn)PM和直線(xiàn)AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線(xiàn)段F1F2被拋物線(xiàn)y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線(xiàn)l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
AC
=2
CB
，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)l和橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足|
F1Q
|=2a，點(diǎn)P是線(xiàn)段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)
（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點(diǎn)Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案