如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分,橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
,橢圓C1的下頂點(diǎn)為E,過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M.
①求證:直線MP經(jīng)過一定點(diǎn);
②試問:是否存在以(m,0)為圓心,
3
2
5
為半徑的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交?若存在,請求出所有m的值;若不存在,請說明理由.
(1)由圓C2將橢圓C1的長軸三等分,∴2b=
1
3
•2a
,則a=3b.
c=
a2-b2
=2
2
b

又橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
,
a2
c
-c=
b2
c
=
2
4
,∴b=1,則a=3,
∴橢圓方程為
x2
9
+y2=1

(2)①由題意知直線PE,ME的斜率存在且不為0,設(shè)直線PE的斜率為k,則PE:y=kx-1,
y=kx-1
x2
9
+y2=1
x=
18k
9k2+1
y=
9k2-1
9k2+1
x=0
y=-1

P(
18k
9k2+1
,
9k2-1
9k2+1
)
,
-
1
k
去代k,得M(
-18k
k2+9
,
9-k2
k2+9
)
,
kPM=
9k2-1
9k2+1
-
9-k2
k2+9
18k
9k2+1
+
18k
k2+9
=
k2-1
10k
,
∴PM:y-
9-k2
k2+9
=
k2-1
10k
(x+
18k
k2+9
)
,即y=
k2-1
10k
x+
4
5
,
∴直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T(0,
4
5
)

②由
y=kx-1
x2+y2=1
x=
2k
1+k2
y=
k2-1
k2+1
x=0
y=-1

A(
2k
1+k2
k2-1
k2+1
)
,
則直線AB:y=
k2-1
2k
x
,
設(shè)t=
k2-1
10k
,則t∈R,直線PM:y=tx+
4
5
,直線AB:y=5tx,
假設(shè)存在圓心為(m,0),半徑為
3
2
5
的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交,
則(i)
|5tm|
1+25t2
3
2
5
,(ii)
|tm+
4
5
|
1+t2
3
2
5

由(i)得25t2(m2-
18
25
)<
18
25
對t∈R恒成立,則m2
18
25
,
由(ii)得,(m2-
18
25
)t2+
8
5
mt-
2
25
<0
對t∈R恒成立,
當(dāng)m2=
18
25
時(shí),不合題意;當(dāng)m2
18
25
時(shí),△=(
8
5
m)2-4(m2-
18
25
)(-
2
25
)<0
,得m2
2
25
,即-
2
5
<m<
2
5
,
∴存在圓心為(m,0),半徑為
3
2
5
的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交,所有m的取值集合為(-
2
5
,
2
5
)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

點(diǎn)P(4,4),圓C:(x-1)2+y2=5與橢圓E:
x2
18
+
y2
2
=1
有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1),F(xiàn)1、F2分別是橢圓左、右焦點(diǎn),直線PF1與圓C相切.設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求
AP
AQ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知A、B是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右頂點(diǎn),橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)C、D和x軸上一點(diǎn)P,滿足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC

(1)設(shè)△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4,求證:S1S3=S2S4;
(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,求x0的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn),與拋物線交于C、D兩點(diǎn),且
|CD|
|ST|
=2
2

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)A,B,設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn),且滿足
OA
+
OB
=t
OP
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|
PA
-
PB
|<
2
5
3
時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí),求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動(dòng),|MN|=5,點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn),且
MP
=
2
3
PN
,點(diǎn)P隨線段MN的運(yùn)動(dòng)而變化.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OS
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0(其中ab≠0,a≠b,c>0),它們所表示的曲線可能是( 。
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的漸近線方程為y=±
3
x
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M(
5
,
3
)
在雙曲線上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且
OP
OQ
,求|OP|2+|OQ|2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(
3
,0)
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點(diǎn)).求k的取值范圍.

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