Question

【題目】已知數列的前項和為，且對一切正整數都有.

（1）求證：；

（2）求數列的通項公式；

（3）是否存在實數，使不等式，對一切正整數都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在；的取值范圍是.

【解析】

（1）由題得①，②，②－①即得；

（2）由題得.，再對分奇數和偶數兩種情況討論，求出數列的通項公式；

（3）令，判斷函數的單調性，求出其最大值，解不等式即得解.

（1）證明：∵①，

∴②

由②－①得，

∴.

（2）∵③

∴，④

④－③，得.

從而數列的奇數項依次成等差數列，且首項為，公差為；

數列的偶數項也依次成等差數列，且首項為，公差為.

在①中令得，又∵，∴.

在③中令得，∴.

∴當時，，；

∴當時，，；

綜上所述，.

（3）令，則

且

∴，

∴單調遞減，

∴.

∴不等式對一切正整數都成立等價于對一切正整數都成立，

等價于，即.

∴，即，

解之得，或.

綜上所述，存在實數的適合題意，的取值范圍是.