Question

已知圓C的中心在原點(diǎn)O，點(diǎn)P（2，2）、A、B都在圓C上，且 （m∈R）．
（Ⅰ）求圓C的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB的面積取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)圓C的中心在原點(diǎn)O，點(diǎn)P（2，2）在圓C上，可求圓C的方程；利用A、B都在圓C上，，可得A，B關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，利用直線OP的斜率，可求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=-x+b，求出圓心到直線AB的距離，|AB|，表示出面積，再利用基本不等式，即可求得OAB的面積取得最大值，進(jìn)而可得直線AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²=r²，
∵點(diǎn)P（2，2）在圓C上，∴r²=8
∴圓C的方程為x²+y²=8
∵A、B都在圓C上，
∴A，B關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)
∵直線OP的斜率為1
∴直線AB的斜率為-1；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=-x+b，則圓心到直線AB的距離為d=
∴|AB|=2
∴△OAB的面積為×2×=≤=4
當(dāng)且僅當(dāng)，即b=±時(shí)，△OAB的面積取得最大值4
此時(shí)直線AB的方程為y=-x±．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形的面積，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，求出圓的方程，表示出三角形的面積，利用基本不等式求解時(shí)關(guān)鍵．