Question

已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）當n=2，x∈（0，1]時，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范圍；
（2）試證函數(shù)f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)存在零點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將n=2帶入原函數(shù)求出f（x），帶入不等式便得：x²+x-1≤kx，這里要求k的范圍，因為x＞0，所以不等式兩邊可同除以x，得到k≥x-

1

x

+1，所以這里只要讓k大于等于x-

1

x

+1的最大值，所以轉(zhuǎn)而求函數(shù)x-

1

x

+1的最大值即可．
（2）要證明函數(shù)f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)存在零點，則一定有f(

1

2

)  和f(1) 異號，光是異號還不行，一般的需要f（x）在（

1

2

，1）上單調(diào)．這些條件都找到了，這道題的答案也就接出來了．

解答： 解：（1）n=2時，f（x）=x²+x-1，所以由f（x）≤kx得：x²+x-1≤kx；
∵x＞0∴k≥x-

1

x

+1；
令g(x)=x-

1

x

+1，則g′（x）=

1

x2

+1＞0，所以g（x）在（0，1]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（1）=1；
所以k≥1．
（2）f′（x）=x^n-1+x^n-2+…+1=

1-xn

1-x

，且在（

1

2

，1）上，0＜xⁿ＜1，1-xⁿ＞0，1-x＞0，所以在（

1

2

，1）上f′（x）＞0；
所以f（x）在（

1

2

，1）上是增函數(shù)，且f（1）=n-1＞0，f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0；
所以f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)存在唯一的零點．

點評：需注意的，或解這道題的關(guān)鍵點就是在所得不等式兩邊同除x，而第二問所用的是證明一般函數(shù)在某個區(qū)間上有零點基本方法，須記住并理解．