Question

在直角坐標系xOy中，點M(2，－)，點F在拋物線C：y＝mx²(m>0)的焦點，線段MF恰被拋物線C平分．

(1)求m的值；

(2)過點M作直線l交拋物線C于A、B兩點，設直線FA、FM、FB的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問k₁、k₂、k₃能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

 (1)由題得拋物線C的焦點F的坐標為(0，)，線段MF的中點N(1，－)在拋物線C上，

∴－＝m,8m²＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．

(2)由(1)知拋物線C：x²＝4y，F(0,1)．

設直線l的方程為y＋＝k(x－2)，A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

假設k₁、k₂、k₃能成公差不為零的等差數(shù)列，則k₁＋k₃＝2k₂.

解得k＝－(符合題意)或k＝－(不合題意，舍去)．

∴直線l的方程為y＋＝－(x－2)，

即x＋2y－1＝0.

∴k₁、k₂、k₃能成公差不為零的等差數(shù)列，此時直線l的方程為x＋2y－1＝0.