Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；

(2)證明在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

 

Answer 1

　(1)

證明：如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，由條件知，OA＝OC＝8，PO＝6，OB＝8，則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0，0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/12/01/15/2014120115011664597160.files/image044.jpg'>＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，

所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)，

由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.

又直線FG不在平面BOE內(nèi)，

所以FG∥平面BOE.

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x₀，y_0,0)，

則＝(x₀－4，y₀，－3)．

要使FM⊥平面BOE，只需∥n，

因此x₀＝4，y₀＝－，

即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，－，0)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.

由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為4，.