Question

若對任意x∈（1，3）的實數，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：設f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f′（x）=6x²+6x-36，
由f′（x）=0得x=2，x=-3．
∵x∈（1，3）
∴當1＜x＜2時，f′（x）＜0，當2＜x＜3時，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2處取得最小值f（2）=-44-6a≥0
∴…（10分）
分析：假設f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3），將問題轉化為對任意x∈（1，3）的實數，使得不等式f（x）≥0恒成立．利用導數求出函數的最小值大于等于0即可．
點評：本題考查的重點是恒成立問題，考查利用導數求函數的最值，解題的關鍵是構造函數求最值．