Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：；

（2）若在有且只有一個零點，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得其最小值大于等于，進而得證；

（2）構(gòu)造函數(shù)，，，，則函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，分類討論即可得出結(jié)論.

（1）當(dāng)時，，

令，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，

故，即，即得證；

（2）依題意，方程在上只有一個解，

記，，，，則函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，

又在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

（i）當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

且，，，如圖，

顯然，此時滿足函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，符合題意；

（ii）當(dāng)時，，顯然在上有且僅有一個零點，符合題意；

（iii）當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，，如圖，

要使函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，只需，即，即，又，故.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.