Question

14．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列，若b_n=$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$（n=1，2，3，…），求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列，
若公差d≠0時(shí)，lga₁+lga₄=2lga₂，
即lga₁a₄=lga₂²，
即a₁a₄=a₂²，
則a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
解得a₁=d，則a_n=a₁+（n-1）d=na₁，（a₁＞0），
則當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{{a}_{{2}^{n-1}}}{{a}_{{2}^{n}}}$=$\frac{{2}^{n-1}{a}_{1}}{{2}^{n}{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$為常數(shù)，
故數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
當(dāng)公差d=0時(shí)，也滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的證明以及等差數(shù)列的應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．