Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+

1

2

cos（π+2x）．
（Ⅰ）求函數(shù)的周期；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ） 利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（2x-

π

6

），由此可得函數(shù)的周期．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)g（x）=-cos

1

2

x，函數(shù)g（x）的減區(qū)間，即函數(shù)y=cos

1

2

x的增區(qū)間．令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，k∈z，求得x的范圍，可得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ） 因為 函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+

1

2

cos（π+2x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，可得函數(shù)y=sin[2（x-

π

6

）-

π

6

]=-sin（

π

2

-2x）=-cos2x的圖象；
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=-cos

1

2

x 的圖象，
函數(shù)g（x）的減區(qū)間，即函數(shù)y=cos

1

2

x的增區(qū)間．
令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，k∈z，求得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈z，
所以g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ-2π，4kπ]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．