Question

設(shè)x₁、x₂是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根，再根據(jù)x₁＜2＜x₂＜4，可得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

，為關(guān)于a，b的不等式組，利用不等式的性質(zhì)可求證f′（-2）＞3；
（2）利用韋達(dá)定理先把b用x₁、x₂表示出來，分0＜x₁＜2及-2＜x₁＜0兩種情況進(jìn)行討論，把b表示為關(guān)于x₁的函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性可求出b的范圍．

解答：（1）證明：由已知得：f'（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根．
由于x1＜2＜x2＜4故

f′ (2)＜0 f′ (4)＞0

即

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0  ②

，
由于f'（-2）=4a-2b+3，
①×（-3）+②得：4a-2b＞0，
∴f'（-2）=4a-2b+3＞3．
（2）解：由韋達(dá)定理得，

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a ＞0

，
故1-b=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

即b=1-

1

x1

-

1

x2

，
①當(dāng)0＜x1＜2時(shí)，則 x1x2=

1

a

＞0 得 x2＞0
這時(shí)，由|x₂-x₁|=2，得x₂=x₁+2，
即b=1-(

1

x1

+

1

x1+2

)=1-

2(x1+1)

(x1+1)2-1

=1-

2

(x1+1)- 1 x1+1

為增函數(shù)（也可用求導(dǎo)法來證），
故b＜1-(

1

2

+

1

4

)=

1

4

．
②當(dāng)-2＜x1＜0時(shí)，有x1-x2=2，則b=1-(

1

x1

+

1

x1-2

)也為增函數(shù)，
故這時(shí)，b＞1-(

1

-2

+

1

-2-2

)=

7

4

，
綜上，b的取值范圍是(-∞， 

1

4

)∪(

7

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及二次方程根的分布問題等知識(shí)，解決第（2）題的關(guān)鍵是通過討論把b表示成關(guān)于x₁的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)處理．