Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的最大值，則不等式獲證；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，分別求得函數(shù)在上的最大值，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最大值小于或等于0，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

設(shè)，

則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值，

所以，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，所以滿足題意.

②當(dāng)時(shí)，令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，所以滿足題意.

綜上所述，的取值范圍為.