【題目】已知過橢圓的四個頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內(nèi)的點(diǎn)）的面積為，且過橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為．當(dāng)它們的斜率之積為時，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

【答案】（1）；（2）的面積為定值．

【解析】

（1）根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式求得，點(diǎn)到直線公式求得點(diǎn)到直線距離，進(jìn)而表示出；根據(jù)，代入韋達(dá)定理形式化簡可得，代入中化簡得到；當(dāng)直線斜率不存在時，可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得；綜合兩種情況可知為定值.

（1）由題意得：，，，.

直線的斜率，，

由得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）的面積為定值，理由如下：

設(shè)，，

①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為.

由得：，

則，即，

，，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

.

，，

化簡可得：，滿足，

；

②當(dāng)直線斜率不存在時，

且，可設(shè)，，

則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

此時；

綜上所述：的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，若，求的取值范圍；

（2）若定義在上奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，求在上的解析式；

（3）對于（2）中的，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，以，，和為頂點(diǎn)的梯形的高為，面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，為橢圓上的任意兩點(diǎn)，若直線與圓相切，求面積的取值范圍．

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【題目】已知橢圓:離心率是分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過作斜率為的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，且三角形周長

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線分別交軸于不同的兩點(diǎn)，．如果為銳角，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一個定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點(diǎn)，且為等邊三角形．

證明：；

若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在矩形中，，沿直線BD將△ABD折成，使得點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線 ,與平面中所成的角分別為，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x），若任意t∈（a﹣1，a），使得f（t）＞f（t+1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．

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