Question

（2005•靜安區(qū)一模）已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為p，公差為d（d＞0）．對(duì)于不同的自然數(shù)n，直線x=a_n與x軸和指數(shù)函數(shù)f(x)=(

1

2

)x的圖象分別交于點(diǎn)A_n與B_n（如圖所示），記B_n的坐標(biāo)為（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面積分別為s₁和s₂，一般地記直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為s_n．
（1）求證數(shù)列{s_n}是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的正整數(shù)n，構(gòu)成以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)的三角形？并請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）（理）設(shè){a_n}的公差d（d＞0）為已知常數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無(wú)窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？并請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）（文）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無(wú)窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？如果存在，給出一個(gè)符合條件的p值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1））a_n=p+（n-1）d，直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的兩底長(zhǎng)度AnBn=f（a_n），A_n+1B_n+1=f（a_n+1）．高為A_nA_n+1 =d，利用梯形面積公式表示出s_n．利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可．
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，bn=(

1

2

)n-2，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，則b_n+2+b_n+1＞b_n考查次不等式解的情況作解答．
（3）利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，將S＞2010 化簡(jiǎn)為S=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

＞2010，則2p＜

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

探討p的存在性．
（4）利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，將S＞2010 化簡(jiǎn)為 S=

3

2p+1

＞2010，探討p的存在性．

解答：解：（1）a_n=p+（n-1）d，bn=(

1

2

)p+(n-1)d（2分）sn=

d

2

[(

1

2

)p+(n-1)d+(

1

2

)p+nd]=

d

2

•(

1

2

)p•[(

1

2

)(n-1)d+(

1

2

)nd]，
對(duì)于任意自然數(shù)n，

sn+1

sn

=

( 1 2 )nd+( 1 2 )(n+1)d

( 1 2 )(n-1)d+( 1 2 )nd

=

1+( 1 2 )d

2d+1

=(

1

2

)d，
所以數(shù)列{s_n}是等比數(shù)列且公比q=(

1

2

)d，
因?yàn)閐＞0，所以|q|＜1（4分）
（寫成sn=

d

2

[(

1

2

)a1+nd+(

1

2

)a1+(n-1)d]=d•(1+2d)•(

1

2

)a1+1•(

1

2

)nd，得公比q=(

1

2

)d也可）
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，bn=(

1

2

)n-2，
對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，b_n＞b_n+1＞b_n+2（6分）
若以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，
則b_n+2+b_n+1＞b_n，即(

1

2

)n+(

1

2

)n-1＞(

1

2

)n-2，1+2＞4，
這是不可能的         （9分）
所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形            （10分）
（3）（理）由（1）知，0＜q＜1，s1=

d(1+2d)

2p+1•2d

（11分）
所以S=

s1

1-q

=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

（14分）
若S=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

＞2010，則2p＜

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

（16分）
兩邊取對(duì)數(shù)，知只要a₁=p取值為小于log2

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

的實(shí)數(shù)，就有S＞2010（18分）
說(shuō)明：如果分別給出a₁與d的具體值，說(shuō)明清楚問題，也參照前面的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分，但不得超過(guò)該部分分值的一半．
（4）（文）s1=

3

22+p

，q=

1

2

（11分）
所以S=

s1

1-q

=

3

2p+1

（14分）
如果存在p使得S=

3

2p+1

＞2010，即2p＜

3

4020

=

1

1340

（16分）
兩邊取對(duì)數(shù)得：p＜-log₂1340，
因此符合條件的p值存在，log₂1340≈10.4，可取p=-11等               （18分）
說(shuō)明：通過(guò)具體的p值，驗(yàn)證S=

3

2p+1

＞2010也可．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的結(jié)合．考查等比數(shù)列的判定，含參數(shù)不等式解的討論．考查分析解決問題，計(jì)算，邏輯思維等能力．