Question

【題目】在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中點，邊AC（含端點）上存在點M，使得BM⊥CN，則cosA的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[ ，1）
【解析】解：設(shè) =t （0≤t≤1）， = ﹣ =t ﹣ ， = ﹣ = ﹣ ．
∴ =（t ﹣ ）（ ﹣ ）=﹣t 2+（ +1） ﹣ 2 ．
∵ ⊥ ，
∴ =﹣t 2+（ +1） ﹣ 2=0．
化為：﹣16t+12（ +1）cos∠BAC﹣ =0，
整理可得：cos∠BAC= = （32﹣ ）=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即： ≤f（t）≤ ，即： ≤cosA≤ ，
∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，
∴cosA的取值范圍是：[ ，1）．
所以答案是：[ ，1）．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余弦定理的定義的相關(guān)知識，掌握余弦定理:;;．