Question

過拋物線x²=4y的焦點F作傾斜角為α的直線交拋物線于P、Q兩點，過點P作拋物線的切線l交y軸于點T，過點P作切線l的垂線交y軸于點N．
（Ⅰ）求證：|NF|=|TF|=|PF|；
（Ⅱ）若cosα=

4

5

，求此拋物線與線段PQ所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)處P點坐標，對拋物線方程進行求導表示出PN和PT的斜率，則直線PN的方程可得，令x=0，求得N點坐標進而可表示出|NF|，由拋物線定義可知|PF|，推斷出PF|=|NF|，把x=0代入直線l的方程求得T點坐標，表示出|TF|，進而可知|NF|=|TF|=|PF|．
（2）根據(jù)cosα求得tanα，則直線PQ的斜率，則根據(jù)點斜式求得PQ的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得P，Q的坐標，進而利用定積分公式表示出封閉圖形的面積．

解答：解：（1）證明：如圖，焦點F（0，1），設(shè)P(x0，

x02

4

)
由y′=

1

2

x，知kl=y′|_x=x0，kPN=-

2

x0

，
直線PN的方程為：y-

x02

4

=-

2

x0

(x-x0)，
令x=0，得N(0，

x02

4

+2)，點F（0，1），
則|NF|=

x02

4

+1．由拋物線定義知|PF|=

x02

4

-(-1)=

x02

4

+1，
即|PF|=|NF|，
直線l的方程為y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，令x=0得到yT=-

x02

4

所以|TF|=

x02

4

+1，故|NF|=|TF|=|PF|．
（2）∵cosα=

4

5

，∴sinα=

3

5

?kPQ=tanα=

3

4

從而直線PQ的方程為y-1=

3

4

x，
與拋物線方程x²=4y聯(lián)立得x²-3x-4=0?x=-1，x=4，
即P(4，4)，Q(-1，

1

4

)
所以所求的封閉圖形的面積為
S=

∫

4 -1

[(

3

4

x+1)-

1

4

x2]dx=(

3

8

x2+x-

1

12

x3)|_-14．

點評：本題主要考查了拋物線的定義和定積分的運用．考查了學生綜合分析問題的能力．