精英家教網(wǎng)過拋物線x2=4y的焦點F作傾斜角為α的直線交拋物線于P、Q兩點,過點P作拋物線的切線l交y軸于點T,過點P作切線l的垂線交y軸于點N.
(Ⅰ)求證:|NF|=|TF|=|PF|;
(Ⅱ)若cosα=
45
,求此拋物線與線段PQ所圍成的封閉圖形的面積.
分析:(1)設處P點坐標,對拋物線方程進行求導表示出PN和PT的斜率,則直線PN的方程可得,令x=0,求得N點坐標進而可表示出|NF|,由拋物線定義可知|PF|,推斷出PF|=|NF|,把x=0代入直線l的方程求得T點坐標,表示出|TF|,進而可知|NF|=|TF|=|PF|.
(2)根據(jù)cosα求得tanα,則直線PQ的斜率,則根據(jù)點斜式求得PQ的直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,求得P,Q的坐標,進而利用定積分公式表示出封閉圖形的面積.
解答:解:(1)證明:如圖,焦點F(0,1),設P(x0,
x02
4
)

y′=
1
2
x
,知kl=y′|_x=x0,kPN=-
2
x0

直線PN的方程為:y-
x02
4
=-
2
x0
(x-x0)
,
令x=0,得N(0,
x02
4
+2)
,點F(0,1),
|NF|=
x02
4
+1
.由拋物線定義知|PF|=
x02
4
-(-1)=
x02
4
+1

即|PF|=|NF|,
直線l的方程為y-
x02
4
=
x0
2
(x-x0)
,令x=0得到yT=-
x02
4

所以|TF|=
x02
4
+1
,故|NF|=|TF|=|PF|.
(2)∵cosα=
4
5
,∴sinα=
3
5
?kPQ=tanα=
3
4

從而直線PQ的方程為y-1=
3
4
x
,
與拋物線方程x2=4y聯(lián)立得x2-3x-4=0?x=-1,x=4,
P(4,4),Q(-1,
1
4
)

所以所求的封閉圖形的面積為
S=
4
-1
[(
3
4
x+1)-
1
4
x2]dx=(
3
8
x2+x-
1
12
x3)|_-14
點評:本題主要考查了拋物線的定義和定積分的運用.考查了學生綜合分析問題的能力.
練習冊系列答案
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過拋物線x2=4y的焦點F作傾斜角為30°的直線,與拋物線分別交于A、B兩點(A在y軸左側),則
|AF||FB|
=
 

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過拋物線x2=4y的焦點F作直線交拋物線于P1(x1、y1),P2(x2、y2)兩點,若y1+y2=6,則|P1P2|的值為( 。
A、5B、6C、8D、10

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如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
(I)若
AP
PB
(λ∈R)
,證明:λ=-
x1
x2
;
(II)在(I)條件下,若點Q是點P關于原點對稱點,證明:
QP
⊥(
QA
QB
)

(III)設直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知過拋物線x2=4y的焦點,斜率為k(k>0)的直線l交拋物線于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=8.
(1)求直線l的方程;
(2)若點C(x3,y3)是拋物線弧AB上的一點,求△ABC面積的最大值,并求出點C的坐標.

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