Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a（其中a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若集合{x|-4≤x≤3}是關(guān)于x的不等式f（x）≤6的解集的子集，求實(shí)數(shù)a的值范圍；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n使f（n）≤m-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的求法求解解集，利用已知條件即可推出a的范圍．
（Ⅱ）已知條件轉(zhuǎn)化為m≥f（n）+f（-n）的最小值通過絕對(duì)值的幾何意義，即可求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3…（3分）
∴a-3≤-4，∴a≤-1．                                       …（5分）
（Ⅱ）只需m≥f（n）+f（-n）的最小值…（6分）
令φ（n）=f（n）+f（-n），
在（1）的條件下，a≤-1
則φ（n）=|2n-a|+|2n+a|+2a≥|（2n-a）-（2n+a）|+2a=|2a|+2a=0
當(dāng)（2n-a）（2n+a）≤0即$\frac{1}{2}a≤n≤-\frac{1}{2}a$時(shí)取等號(hào)，
∴φ（n）的最小值為0，…（9分）；
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，+∞）．                                     …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值的幾何意義，考查分析問題解決問題的能力．