Question

如圖，在平面斜坐標系XOY中，∠xoy=θ，平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若

OP

=x

e

1+y

e

2（其中

e

1，

e

2分別是X軸，Y軸同方向的單位向量）．則P點的斜坐標為（x，y），向量

OP

的斜坐標為（x，y）．有以下結(jié)論：
①若θ=60°，P（2，-1）則|

OP

|=

3

②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2
④若θ=60°，以O為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為x²+y²+xy-1=0
其中正確的結(jié)論個數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：把新定義回歸到向量的數(shù)量級的運算：①可推得

OP

=2

e1

-

e2

，利用模長公式可解；②轉(zhuǎn)化為向量加法的運算即可；③利用向量的數(shù)量積可得結(jié)果；④把問題轉(zhuǎn)化為模長為1，按新定義可得．

解答：解：①若θ=60°，P（2，-1）則

OP

=2

e1

-

e2

，故|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

5-4×1×1× 1 2

=

3

，故正確；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

+

OQ

=(x1+x2)

e1

+(y1+y2)

e2

，即

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，故正確；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

•

OQ

=(x1

e1

+y1

e2

)•(x2

e1

+y2

e2

)=x₁x₂+y₁y₂+(x1y2+x2y1)

e1

•

e2

，故錯誤；
④若θ=60°，以O為圓心，1為半徑的圓，則設圓上的任意一點P（x，y）由|

OP

|=1可得
(x

e1

+y

e2

)2=1，即x²+y²+xy-1=0，故正確．
故選C．

點評：本題為新定義，正確理解題中給出的斜坐標并與已知的向量知識相聯(lián)系是解決問題的關鍵，屬基礎題．