Question

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如圖1所示），將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，使點(diǎn)C翻折到點(diǎn)C₁的位置（如圖2所示），點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BD ∥平面EMF；
（2）證明：AC₁⊥BD；
（3）當(dāng)EF⊥AB時(shí)，求線(xiàn)段AC₁ 的長(zhǎng)。

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)F,M分別是C₁D,C₁B的中點(diǎn)，            
所以FM∥BD． 
又FM平面EMF，BD平面EMF,      
所以BD∥平面EMF．

（Ⅱ）在菱形ABCD中，設(shè)O為AC,BD的交點(diǎn), 
    則AC⊥BD．
所以，在三棱錐C₁-ABD中，C₁O⊥BD,AO⊥BD
有C₁O ∩AO=O.
所以BD⊥平面AOC₁
又AC₁平面AOC₁.
所以BD⊥AC₁
（Ⅲ）連結(jié)DE，C₁E．在菱ABCD形中，DA=AB,∠BAD=60°，    
所以 △ABD是等邊三角形.     所以DA=DB ．  
因?yàn)?E為AB中點(diǎn)，所以DE⊥AB．           
 又EF⊥AB ，EF∩DE=E．            
所以 AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC₁．
 又C₁E平面DEC₁，所以AB⊥C₁E ．
因?yàn)?AE=EB，AB=4,BC₁=AB，
所以AC₁=BC₁=4