如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角余弦值的大��；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）中主要利用線線垂直可證線面垂直；（Ⅱ）中通過作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角；當(dāng)然也可建系利用空間向量來解；（Ⅲ）中利用等體積法可求，亦可用空間向量來解.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)OC


在中，由已知可得而
   即
          平面      4分
（Ⅱ）解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，
       8分
（Ⅲ）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為確規(guī)定


在中，

而

點E到平面ACD的距離為      12分
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則


異面直線AB與CD所成角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，   又
點E到平面ACD的距離 
考點：立體幾何線面垂直的證明；異面直線所成的角；點到平面的距離.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面，為中點．

（1）求證：平面；
（2）若，求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中，，，是線段的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，，
. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．
(I)求證：平面平面；
(II)求直線與平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的平面角余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面∥

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）證明：平面；
（3）求二面角的正切值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=3，點E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，設(shè)AD中點為P.
（Ⅰ）當(dāng)E為BC中點時，求證：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）設(shè)BE=x，當(dāng)x為何值時，三棱錐A－CDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，四條側(cè)棱長均相等．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知長方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分別是AD，BC邊上的點，且AA1=BB1="1," E，F(xiàn)分別為B1D與AB的中點. 把長方形ABCD沿直線折成直角二面角，且.

（1）求證：
（2）求三棱錐的體積.

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