Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₅=9，S₁₀=100．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為U_n，求證：U_n＜2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅=9，S₁₀=100．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₅=9，S₁₀=100．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n+1-T_n+1=（n+1）²-$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴{$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為U_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．